Calculo De Centroides

Cálculo de los centroides

En Matemáticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las líneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.

Asimismo, la definición puede ser ampliada y se vuelve aplicable un objeto n-dimensional.

Si se establece físicamente, un centroide se refiere al centro del objeto geométrico.

Por lo tanto, al calcular el centroide de una figura en particular, sólo el área de la figura geométrica se toma en cuenta. Por este motivo, el centroide también se denomina como centro geométrico.

El cálculo del centroide es una de las aplicaciones principales de las integrales.

Una propiedad importante que forma la base del cálculo del centroide es que el centroide de un objeto convexoyace dentro del objeto, mientras que un objeto no convexo puede tener su centroide situado exterior a la figura.

Existen muchos métodos disponibles para encontrar el centroide de una figura particular, incluyendo el método de la plomada, el método de descomposición geométrica y el método de integración. Entre todos, el método de integración es el método más fácil y ampliamente utilizado para localizar el centroide de un objeto o una figura.

Para encontrar el centroide de figuras complejas la idea básica consiste en dividir la figura en rectángulos pequeños y entonces calcular la coordenadas x e y del centroide mediantecalcular simplemente los momentos correspondientes sobre las coordenadas x e y.

Supongamos que el ancho del rectángulo, el cual está dibujado dentro de la curva de arriba, es Δx y la altura correspondiente es y2 − y1.

Entonces el momento total y el área de la figura sobre el eje x viene a ser x (y2 – y1) dx y (y2 – y1) dx, respectivamente.

Por lo tanto, la coordenada x del centroide viene a ser = Momento total

        Área total     

=

Del mismo modo, calculando la coordenada y del centroide, la fórmula puede ser modificada a

Una fuerte captación de la idea se puede hacer si estos se aplican de forma práctica. Un ejemplo puede ayudar en gran manera a apropiarse del concepto en cuestión.

Suponga que el centroide de la curva limitada por el eje x, y = x3, x = 2 será encontrado.

Aplicando la fórmula, . Aquí a = 0, b = 2, y1 = 0 y y2 = x3

 x (x3 - 0) dx 
  (x3 - 0) dx 

= x4 dx

 x3 dx

= [x5 / 5]02

    [x4 / 4]02

= 32 / 5

   16 / 4

= 1.6

Del mismo modo, buscando la coordenada y

Aplicando la fórmula,

Aquí x2 = 2, x1 = y 1/3, c= 0 y d =8. Ahora, obtenemos

 =  y (2 – y1/3)dy
 (2 – y1/3) dy

= (2y – y4/3 ) dy

  (2 – y1/3) dy

= [y2 – (3y7/3 / 7)]08 [2y – (3y4/3 / 4)]08

= 16 – 3/7(32)

= 2.29

Por tanto, el centroide de la figura es (1.6, 2.29)

Una característica muy interesante del centroide es que el centroide de un objetobidimensionales igual al centro de masa de ese objeto es por esto que podemos afirmar que el centroide de un objeto bidimensional es la posición de la media ponderada al centro del objeto dado.